Trigonometria

Reseña Historica

La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la grecia clasica, en el siglo II . el astrónomo Hiparso de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparcoutilizó para r.

Tres siglos después, el astrónomo Claudio utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60 de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Ptolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. Su libro de Astronomia, el Almagesto, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro mostraba ejemplos de cómo utilizar dicha tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El reorema de menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Ptolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de hipotenuza dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos arabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X  ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría, tanto para triangulos planos  como esfericos.Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.

 Angulos y sus Medidas

                                                                                                                                                                                                   Un cuarto de vuelta es un giro de 90°, también llamado ángulo recto       

 

Si un ángulo tiene más de 90°, pero menos de 180°, se llama ángulo obtuso.    

              Media vuelta completa (lo que significa pasar justo al lado opuesto) es un giro de 180°. Este tipo de ángulo se llama ángulo llano.

 

Si un ángulo tiene menos de 90°, se llama ángulo agudo. 

 

Si un ángulo mide más de 180°, se llama ángulo cóncavo. 

 

Si un ángulo tiene 0°, se llama ángulo nulo. 

 

Sistema de medicion angular:

Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º 

Sistema Internacional: Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema de coordenadas polar, etc.

Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide en 60 partes iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos (")
Sistema centesimal: Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centecimal (g).

Convercion de sistemas de medicion: 

Los siete patrones definidos por el Sistema Internacional de Unidades son:

Segundo Metro Amperio Mol Kilogramo Kelvin Candela

(tiempo) (longitud) (intensidad de corriente eléctrica) (cantidad de sustancia) (masa) (temperatura) (intensidad luminosa)

Circulo Trigonometrico

   

Razones Trigonometricas en angulos en posicion normal

Llamado también ángulo en posición canónica o estándar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado se ubicará en cualquier región del plano, siendo el que indique a que cuadrante pertenece dicho ángulo. En el gráfico adjunto por ejemplo : a, b y q son ángulos en posición normal, cumpliéndose: a Î IC; b Î IIC; q Î IIIC.

Ángulos CuadrantalesSe va a denominar ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes cartesianos. Las medidas de estos ángulos es siempre múltiplo de 90º.
Estos ángulos no pertenecen a cuadrante alguno (fig. 1)

• Ángulos Coterminales
Son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final; y su diferencia de medidas es siempre múltiplo de 360º. (fig.2). 

Lineas Trigonometricas

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

 

 Signos de las razones trigonometricas

Dividimos la circunferencia en 4 cuadrantes, los numeramos en sentido contrario a las agujas del reloj.
Dibujamos un ángulo en el primer cuadrante, su vértice coincide con el centro de la circunferencia y uno de sus lados coincidiendo con el semieje positivo de las x.
Para obtener el signo de las razones trigonométricas de un ángulo leemos en el sentido de la flecha de la figura.

El valor del seno del ángulo es siempre y. El valor del coseno es x. El signo de la tangente lo obtenemos diviendo el seno entre el coseno.

 

Signo razones trigonométricas	Cuadrantes
	I	II	III	IV
Seno	+	+	-	-
Coseno	+	-	-	+
Tangente	+	-	+	-

Identidades trigonometricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonometricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sen²α como (sen α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Identidades trigonometricas principales

• Pitagóricas
  • cos² α + sen² α = 1
  • sec² α = 1 + tg² α
  • cosec² α = 1 + cotg² α
• Por Cociente

• Recíprocas

 

 

Identidades trigonometricas auxiliares

 
Identidades pres o impares

 

  

  

  

  

  

 
Identidades de suma


Identidades de resta

Identidades de ángulo doble

Relaciones y Funciones

Reseña  Historica

Según García (2001) el término función fue utilizado por primera vez en 1637 por el matemático y filosofo francés René Descartes (1596-1650), él mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan, Descartes lo uso por primera vez para designar una potencia xn de la variable x.

“En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente” (Encarta, 2003).

En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: ``Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''. 

Par Ordenado  

En matematicas un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definicion. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

 

Producto Cartesiano  de Conjuntos

En matematicas el producto cartesiano de dos conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:
 

y

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

 

Relaciones  Binarias 

En matematicas , una relación binaria es una relacion matematica definida entre los elementos de dos conjuntos y . Una relación de en se puede representar mediante pares ordenados  para los cuales se cumple una propiedad , de forma que , y se anota:


Esta relación se puede denotar de diversas formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo denotamos como R(M)

Grafica de relaciones en R en R

Funciones De Variable Real

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:




Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

· El conjunto inicial o dominio de la función.

· El conjunto final o imagen de la función.

· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:



asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Dominio y Rango de una Funcion

Definición: (Dominio)
Son todos los valores que se pueden entrar a una función.
 

Definición: (Rango)
Son todos los valores que pueden salir de una función. El rango es también conocido como el recorrido, alcance o campo de valores de una función.
 

Tipos de Funciones
    Clasificacion de funciones

Funciones polinómicas 

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones exponenciales


Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Tecnicas De Graficacion 

Procesos de grafucacion de una funcion.

En matematicas la gráfica de una función:

Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto carteciano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartecianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua entonces la gráfica formará una linea recta o curva.
 
Trazado de graficas especiales 

                                       
                                     Operaciones con funciones

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple:
Tienen el mismo dominio: A = C
Tienen el mismo codominio: B = D
Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)

Suma de funciones

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Dominio de la suma de funciones

D(f + g) = D f D g
Ejemplo





Df = − {2}Dg = [0, ∞)

D(f + g) = [0, 2) (2, ∞)

Propiedades de la suma de funciones

Asociativa:

f(x) + [g(x) + h(x)] = [f(x) + g(x)] + h(x)

Conmutativa:

f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

Elemento neutro:

La función constante: f(x) = 0.

Elemento simétrico:

La función opuesta: −f(x).

 

Diferencia de funciones 

En matematicas concretamente en calculo diferencial el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealizacion de una funcion y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

 

Multiplicacion de funciones

La multiplicación de dos funciones f y g es otra función f ·g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando las imágenes de f y g.

Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica el producto de dichas fórmulas.

Por ejemplo, sean f(x) = x + 2 y g(x) = x2, entonces la función producto es h(x) = (f ·g) (x) = (x + 2) · x2 = x3 + 2x2

Cociente de funciones 

En calculo, la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una funcion que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.

La función a derivar, , puede escribirse como

y ≠ , entonces la regla afirma que la derivada de es igual a:

O de forma más precisa, para toda que pertenece a algún conjunto abierto que contiene al número , con ≠ ; y, tal que existen y ; entonces, también existe:

 

 

Funcion biyectiva

En matematicas una funcion es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyeyectiva  es decir, si todos los elementos del conjunto de salida  tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo de se cumple que existe un único de , tal que la función evaluada en es igual a .

Dados dos conjuntos e finitos entonces existirá una biyección entre ambos si y soño si e tienen el mismo número de elementos.

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

 

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).


· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

 

 

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

 

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto



f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado desición creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Función monótona

En matematicas una función entre conjuntos oedenados  se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en calculo y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoria del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

 

Funcion inversa

En matematicas si f es una aplicación o funcion que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.