Matrices

Reseña   Historica

                                                        

Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay indicios desde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza. Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se estudiaron problemas que involucraban a ecuaciones lineales simultáneas y algunos de estos son conservados en tabletas de arcilla que permanecieron en el tiempo.
Los Chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho más cerca de las matrices que los babilonios. Verdaderamente es justo decir que el texto “Nueve Capítulos de Arte Matemático”, escrito durante la Dinastía Han, da el primer ejemplo conocido sobre métodos matriciales.

Clases de Matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.


Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna


Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.






Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.


Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.



Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.


Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.


Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.





Definicion de matrices

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito ) donde . El conjunto de las matrices de tamaño se representa como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento.4 Por ejemplo, al elemento de una matriz de tamaño que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le denota como , donde y .



Clasificacion y Propiedades de las matrices

• Interna:
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: A + 0 = A
• Elemento opuesto:A + (−A) = O
• Conmutativa: A + B = B + A

• Producto de un número real por una matriz

  
  
• a ·  (b · A) = (a · b) · A A M_mxn, a, b
  
• a  ·  (A+B) = a · A + a · B A,B M_mxn , a
  
• (a+b) · A = a · A+b · A A M_mxn , a, b
  
• 1 · A = A A M_mxn
•  

• Producto de matrices

  Propiedades

• Asociativa:
  A · (B · C) = (A · B) · C
  
• Elemento neutro:
  A · I = A
  
• No es Conmutativa:
  A · B ≠ B · A
  
• Distributiva del producto respecto de la suma:
  A · (B + C) = A · B + A · C
  
  

Matriz inversa

A · A⁻¹  = A⁻¹ · A = I

Propiedades

(A · B)⁻¹  = B⁻¹ · A⁻¹
(A⁻¹ ) ⁻¹  = A
(k · A)⁻¹  = k⁻¹ · A⁻¹
(A ^t) ⁻¹  = (A ⁻¹) ^t

^{Operaciones entre matrices}

^{Igualdad entre matrices} 

Definición:

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:

Mm,n

Ejemplo:
Sumar y restar matrices

Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.

Sumar:

Sumamos los valores que ocupan la misma posición.

El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1 2) de A con el valor de la posición (1 2) de la matriz B.

El valor que se halla en la posición (1 3) de A con el valor de la posición (1 3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.

Vamos a sumar las matrices A y B:



Restar matrices:

Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:




Multiplicar matrices:
Vamos a considerar 2 casos:

1) Multiplicar una matriz por un escalar



Multiplicamos cada elemento por el escalar:




Potencia de matrices

Como bien sabes, la potencia de exponente natural de un número es una operación que consiste en multiplicar por sí mismo dicho número una serie de veces.

Pues bien, con matrices también podemos hacer la operación potencia, pero, para que esta tenga sentido, la matriz debe poderse multiplicar por sí misma, y esto sólo es posible si la matriz es cuadrada, pues tiene que cumplirse que el número de filas sea igual que el número de columnas.

Determinantes

En matematicas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistema de ecuaciones linelaes.

Metodos para encontrar la determinante de una matriz

Como sabemos, el cálculo de un determinante 3×3 es bastante largo. El número de operaciones es elevado, y más lo será cuando deban calcularse determinantes 4×4 o incluso mayores.

También sabemos que la regla de Sarrus es válida únicamente para el cálculo de determinantes 3×3. Veamos ahora un método más general.

1. Se elige una fila, por ejemplo, la primera (123), y empezamos con el primer elemento: 1.
2. Se calcula su adjunto
   
   ∣∣∣∣∣/1/4/7/258/369∣∣∣∣∣=5⋅9−8⋅6=−3
   (no debemos cambiar el signo, puesto que 1+1=2, que es par).
3. Multiplico el término elegido, o sea 1, por su adjunto correspondiente
   
   1⋅∣∣∣5869∣∣∣=1⋅(5⋅9−6⋅8)=−3
   Y así sucesivamente con los siguientes elementos.
4. Se elige el segundo término, o sea el 2.
5. Se calcula su adjunto:
   
   5. ∣∣∣∣∣/147/2/5/8/369∣∣∣∣∣
      No debe olvidarse el signo menos!!! (1+2=3, que es impar)
      −2⋅∣∣∣4769∣∣∣=−2⋅(4⋅9−6⋅7)=12
   6. Elijo el último término y repito el proceso, ahora con el signo positivo
      
      ∣∣∣∣∣/147/258/3/6/9∣∣∣∣∣=3⋅∣∣∣478∣∣∣=3⋅(4⋅8−5⋅7)=3⋅(4⋅8−5⋅7)=3⋅(−3)=−9
   7. Finalmente sumo los tres casos. En este ejemplo el resultado es cero.
   En resumen,
   
   ∣∣∣∣147258369∣∣∣∣=∣∣∣∣∣/1/4/7/258/369∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣/147/2/5/8/369∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣/147/258/3/6/9∣∣∣∣∣=1⋅∣∣∣5869∣∣∣−2⋅∣∣∣4769∣∣∣+3⋅∣∣∣478∣∣∣
   y utilizando lo que sabemos para los determinantes 2×2 resolvemos este caso.