Numeros Complejos

Reseña   Historica

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible seccion de una pirámide.

Los números complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos.

El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Los números complejos tienen a la Ingeniería Eléctrica como campo fundamental de aplicación práctica, no obstante están presentes en otras disciplinas científicas.

Representacion

Definicion de un numero complejo

Los números complejos son una extensión de los numeros reales  y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está estrictamente contenido en ). Los números complejos incluyen todas las raices de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un numero real y un numero imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Forma rectangular de un numero complejo 

Representación geométrica de un número complejo.Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es
z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R2, y en él un sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los núneros complejos C.


El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe el nombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de argumento de z.
Además, el módulo del vector OP es: |OP| = (a2 + b2)1/2 = |z|
que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas.


Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que: sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x
cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos xLuego podernos escribir z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)

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 Unidad imaginaria

En matemáticas, un número imaginario es un numero complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raiz cuadrada -1 :1 2 3




Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente electricatradicionalmente denotada por i.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

_Operaciones

_{Igualdad de un numero complejo} 

 

Dos números complejos son iguales cuando sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales entre sí.

a + bi = c + di quiere decir a = c y b = d

Ejemplo:

Determina para qué valores de x e y son iguales los números complejos: z = x -3 + 5i,

w = 4 + (y + 4)i

Igualamos por separado las partes reales x -3 =4 y se obtiene x =7 y las partes imaginarias

5 = y + 4, se obtiene y = 1.

Luego para que sean iguales debe cumplirse que x = 7 e y = 1.

Suma resta multiplicacion y divicion de numeros complejos 

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Ejemplo:


(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.
Ejemplo: