Conjuntos

Clasificación de conjuntos

Definición de conjuntos:

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. 

Relación de pertenencias

Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A,…, 6 ϵ A.

Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A,...

                                                         

                  

Determinación de conjuntos

La cual se puede clasificar por  comprensión, extensión y por el diagrama de venn.

Comprensión: Es para referirnos algunas características del objeto.

B= [x/x es una vocal]

Extensión: Es cuando se expande.

Se escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno separados por una coma y entre paréntesis de llaves.

C = {norte, sur, este, oeste}

Diagrama de Venn: Es cuando hacemos una representación grafica los elementos de un conjunto.

Clases de conjunto

Conjunto vacío: Es el que no posee elementos. También se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos:  o { }

Conjunto unitario: Es el que tiene un único elemento.

Conjunto finito: Se llama así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento.

Ejemplo: D = {x/x es día de la semana}

Conjunto infinito: Se denomina así, ya que no podemos nombrar su último elemento. Lo que no tiene fin. Ejemplos los números las piedras etc.

Conjunto universo: Se llama así al conjunto formado por todos los elementos. 

Ejemplo:

U = {a, e, i, o, u}

A= {a, e}

B= {a, i, o, u}

Relaciones de conjuntos

Cuando dos conjuntos tienen los mismos elementos  o sea tienen una igualdad. Las cuales son: subconjunto, subconjunto propio y conjuntos disjuntos.

      Subconjunto: Es cuando está dentro de otro conjunto.

        El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto del «conjunto de todas                      las personas».

{1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Subconjunto propio: Es cierto que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema: Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B.

Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si se cumple que ningún elemento de A lo es de B o viceversa:

 Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión entre conjuntos:

La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AUB y se define por:

AUB= {X/ (XЄA) U (XЄB)}

 Y gráficamente:

            

Intersección de conjuntos:

La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. se denota por A∩B y se define por:

A∩B= {X/ (XЄA) Λ (XЄB)}

Y gráficamente:

          

 Diferencia entre conjuntos:

La diferencia entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B, se denota por  A-B y se define como:

A-B= {X/ (XЄA) Λ ⌐ (XЄB)}

Y gráficamente:

          

 

Diferencia simétrica:

La diferencia simétrica entre los conjuntos formado por los elementos pertenecen o al conjunto a, o al conjunto B, se denota como A Δ B y se define como:

A Δ B= {(A-B) U (B-A)}

A Δ B= {X/ [(XЄA) Λ ⌐ (XЄB)] V [(XЄB) Λ ⌐ (XЄA)]}

Y gráficamente:

          

Complementación de conjuntos:

La complementación den un conjunto A, es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota con A^c o Aꞌ y se lo define por:

A^c= {X/ (XЄ Re) Λ ⌐ (XЄA)}

                                                      

  

Conjunto potencia

Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A, el símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A). La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como N (P(A))=2^N(A)

Ejemplo:

A= {+,-, x}

N(A)=3

N (P (A) =2³=8

P(A)= {(+);(-);(x);(+,-);(+;x);(-,x);ɸ;(+,-,x)}   

Cardinalidad

Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A).

Ejemplo:

A= {X/X es un digito impar en el sistema de numeración decimal}

A= {1, 3, 5, 7,9}

Cardinalidad N(A)=5

leyes de algebra de conjuntos

                                                        

conmutativa

AUB=BUA

 A∩B=B∩A

asociativa                                              

(AUB)UC=AU (BUC)  

A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)  

 idempotencia                        

AUA=A        

 A∩A=A  

identidad                                    

AUɸ=A              

A∩Re=A    

 absorción              

AURe=Re      

 A∩ɸ = ɸ                                           

complemento

ɸ^c=Re                                    

Re^c=ɸ                                      

involucion 

(A^c) ^c=A                                  

distributiva

AU (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC)                     

A∩ (BUC) = (A∩B) U (B∩C)                      

Morgan

(AUB) ^c=A^c ∩ B^c                                       

(A∩B) ^c=A^c U B^c                                   

tercer excluido

AUC^c=Re                                                 

AUA^c= ɸ                                                  

contradiccion

A∩A^c= ɸ

diferencia

A-B=A ∩ B^c

distributiva de la diferencia

A – (BUC) = (A- B) ∩ (A-C)

A – (B∩C) = (A- B) U (A-C)

reduccion

AU (B∩A)=A

A∩ (BUA)=A