Matematicas Para Sistemas: Números Reales

Reseña Histórica

El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6;39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).
Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO

Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de conjuntos coordina bles. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.

Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es por que son un grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa, distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que los números reales sean un campo.

Axiomas de Números Reales

Ley de cerradura

A+ B € R

Axioma conmutativo

A+B = B+A

Axioma distributivo

A ( B+A) = AB+C

Axioma del elemento neutro

A+0 = A

A +1 = A

Axioma del elemento inverso

A + ( -A) = 0

Axioma del número inverso

A ( 1/A) = 1

Razones y Proporciones

Investigación

Razón

Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.

Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (¸). Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe

u 8¸4 y se lee ocho es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8¸4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

Qué es una Proporción?

Atención a los siguientes ejemplos: 1:2 y 2:4 forman una proporción, pero 1:3 y 2:4 No

3:4 y 6:8 forman una proporción, pero 3:4 y 5:8 No

Tenemos una proporción cuando tenemos una igualdad de dos razones.

(Pregunta: ¿Cuándo dos razones son iguales?)

Definición:

Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones. Si las las razones son a:b y c:d que forman una proporcion, entonces se escribe esta proporción como

a:b = c:d
Que se lee " a es a b como c es a d"
A los números a y d se les llama extremos y a los números b y c se les llama medios

Propiedad fundamental de las Proporciones:

En una proporción se cumple SIEMPRE que el producto de los extremos es igual al de los medios.

en las proporciónes siguientes identifica el valor que debe tener x e identifica extremos y medios de la proporción:

x/3 = 4/6

1/3=x/27

2:3=3:

Intervalos

Un intervalo (del latin inter-vallum, espacio, pausa) es un espacio metrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.

Clasificacion de los intervalos

Intervalo abierto Conjunto que sólo contiene los números entre dos números dados (puntos finales), no a los puntos finales.Por ejemplo, el intervalo 1 < x < 4 constituye un intervalo abierto porque no incluye a los puntos finales. El intervalo abierto entre dos números a y b se escribe (a, b), utilizando paréntesis.

Intervalo cerrado Conjunto que contiene en sí sus puntos extremos y todos los números apropiados.El intervalo 0 < x < 4 es un intervalo cerrado porque están incluidos los dos extremos, 0 y 4. Un intervalo cerrado entre dos números a y b se escribe como [a, b], utilizando corchetes cuadrados.

Intervalo infinito

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

El conjunto unión de A y B sería:

O también se puede anotar:

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

El conjunto intersección de A y B no existe:

porque A y B no tienen puntos en común.

Definido el conjunto C:

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

El conjunto intersección de A y C es:

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matematica entre dos expresiones algebraicas , denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incognita relacionados mediante matemáticas. Nota Los valores conocidos pueden ser numeros coheficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

Clasificación de ecuaciones

1. Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)² = x² - 2

x² + 2x + 1 = x² - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

2. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax² = 0

ax² + b = 0

ax² + bx = 0

3. Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax³ + bx² + cx + d = 0, con a ≠ 0.

4. Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, con a ≠

Proceso de solución de ecuaciones

Escribe la solución de la ecuación siguiente:

4x + 2 = 10

En este caso se debe hallar el valor de la variable x y luego comprobar si el valor obtenido satisface la ecuación.

Pasos para la solución de una ecuación

1.- Agrupar en un miembro los términos con variables y en el otro los términos que no tienen variables.

(al pasar un término de un miembro a otro se pasa realizando la operación inversa)

2.- Resolver las operaciones que se indiquen en los miembros de manera independiente.

(Las operaciones se resuelven respetando el orden operacional)

3.- Despejar la variable y resolver las operaciones indicada.
Ecuación

Pasos para resolver la ecuación

Se agrupan en un miembro los términos con variables y en el otro miembro los términos sin varibles.

Se resuelven las operaciones que se indiquen en los miembros de manera independiente.

Se despeja la variable y se resuelven las operaciones indicadas.

Luego de realizada la ecuación es necesaria la comprobación.

Pasos para comprobar soluciones en la ecuación

1.- Sustituir el valor de la variable en la ecuación original.

2.- Calcular cada miembro por separado.

3.- Comparar el resultado de ambos miembros.

(Si la proposición es verdadera, entonces el resultado obtenido es la solución de la ecuación.)

4.- Escribir el conjunto solución.

Inecuaciones

En matematica una inecuación es una desigualdad algrebraica en la que aparecen una o más incognitas en los miembros de la desigualdad.Si la desigualdad es del tipo

se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdadf y ecuacion una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Clasificación de inecuaciones

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: .

·
De dos incógnitas. Ejemplo: .

De tres incógnitas. Ejemplo: .

etc.
Según la potencia de la incógnita,
De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: .

De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: .

De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: .

etc.

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

Proceso de solución de ecuaciones

Pasos para resolver inecuaciones de primer grado
1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

Pasos para resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.
Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

Valor absoluto

Definicion:

En matematica el valor absoluto o módulo de un numero real es su valor numerico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo + o negativo - Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones anillos ordenados cuerpos o espacios

Propiedades del valor absoluto

Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.

Propiedad 1
$\forall x,\, x \in I\! \! R:\,\,\vert x\vert \geq 0$

Demostracion